Klasik fiziğin yasaları kullanılarak açıklanamayan bir diğer deneysel gözlem katıların (sabit hacimdeki) ısı sığasının sıcaklıkla değişimi idi. Deneysel ölçümler Şekil (1.2)’deki grafiği verir: düşük sıcaklıklarda şeklinde sıfıra giderken yüksek sıcaklıklarda 1819’da ampirik olarak bulunmuş sabit Doulong-Petit değerine yaklaşır. Burada birim hacim başına düşen atom (veya molekül) sayısıdır.

                Klasik termodinamiğe göre kristal örgü içindeki herbir atom, sistem sıcaklığında ısısal dengede iken, ortalama denge konumu etrafında serbestlik derecesi başına ısısal uyarılma enerjisi ile bir basit harmonik salınıcı gibi davranır. Buna göre birim hacimdeki ortalama toplam iç enerjisi

(1.12)

olarak bulunur. Burada birim hacimdeki toplam serbestlik derecesi olup, 2 çarpanı kinetik ve potansiyel enerji katkılarını hesaba katabilmek için yazılmıştır. Bu ifadeyi kullanarak birim hacim başına sabit hacimdeki ısı sığası

(1.13)

şeklinde sıcaklıktan bağımsız bir sabit olarak bulunur. Buna göre molar ısı sığası, Avagadro sayısı, gaz sabiti olmak üzere değerine sahip evrensel bir niceliktir. Bu klasik hesap sadece yüksek sıcaklıklardaki değeri doğru olarak vermesine karşın düşük sıcaklıklardaki davranışı açıklamaz. Bu uyuşmazlık Planck varsayımını temel alan Einstein veDebye tarafından giderildi.

                Einstein, salınımların kuantumlu olduğunu söyleyen Planck varsayımının mekanik örgü titreşimlerine de uygulanabileceğini düşündü. Buna göre frekanslı örgü titreşimlerinin enerjisinin de ’nin tamsayı katı şeklinde kuantumlandığını varsayarak frekanslı bir titreşimin ortalama enerjisi için Planck bağıntısını kullandı. Ayrıca örgünün tüm noktalarının aynı frekansı ile titreştiğini varsayarak birim hacimdeki toplam ısısal enerjiyi

(1.14)

olarak hesapladı. Eintein’ın bu modeline göre ısı sığası

(1.15)

şeklinde bulunur. Bu bağıntı yüksek sıcaklıklarda doğru değerini vermesi yanında, düşük sıcaklıklarda da ’nin şeklinde sıfıra gittiğini gösterir. Bu model düşük sıcaklıklarda gerçek davranışını vermemesine karşın, düşük ve yüksek sıcaklıklardaki tipik davranışı gösteren basit bir modeldir. Burada asıl önemli olan mekanik örgü titreşimlerinin de dalgalar gibi kuantumlanmış olduğunun varsayılmasıdır. Mekanik örgü titreşimlerinin kuantumlarına fonon denir. frekanslı bir fonon da aynen bir foton gibi enerjili bir dalga paketçiği gibi düşünülebilir.

                Einstein modelinde eksik olan, tüm örgü salınımlarının aynı frekansa sahip olduğunun varsayılmasıdır. Örgü titreşimlerinin dağınım bağıntısını göz önüne alan Debye modeli ile doğru davranışı daha sonra hesaplandı (Bkz ek.prob(1.1)).

Şekil 1.2 Debye modeline göre

‘nın hesaplanan kuramsal eğrisi. Noktalar bakır için gözlenen değerlerdir.