1.6 HİDROJEN ATOMU VE BOHR MODELİ

 

            İngiliz fizikçisi J.J. Thomson elektronları, üzümlü kekteki üzüm taneleri gibi, sürekli artı yük dağılımı içine gömülmüş eksi yüklü tanecikler olarak ele alarak bir atom modeli geliştirmişti. E. Rutherford’un yaptığı, parçacıklarının metal plakalardan saçılma deneylerinin sonucu bu model yardımıyla açıklanamadı. Kendi kuramsal açıklamalarına dayanarak 1911’de Rutherford’un geliştirdiği başka bir atom modeli ön plana çıktı. Rutherford atom modelinde, atomun tüm artı yükü ve hemen hemen tüm kütlesi atomun çekirdeği denilen, atomun boyutuna göre çok küçük bir bölgede yoğunlaşmıştır. Çekirdek tarafından ile orantılı bir kuvvet ile çekilen elektronlar ise, çekirdek tarafında tıpkı gezegenler gibi kendi yörüngelerinde dolanırlar.

            parçacıklarının atomlardan saçılmalarını nicel olarak iyi açıklamasına karşın Rutherford atom modelinin klasik fizik açısından giderilemeyen iki önemli güçlüğü vardı. Bunlar; (i) atomların kararlılığı ve (ii) atom spektrumlarının kesikliğinin açıklanamamasıydı. Rutherford modelinde elektronlar eğrisel yörüngelerinde ivmeli hareket yapan her yüklü parçacık gibi ışık yayarak enerji kaybetmelidirler. Enerjileri azalan elektronların yörünge yarıçapları giderek küçüleceği için bunlar sonunda çekirdeğin üstüne çökmelidirler. Klasik fizik yasalarına göre bu çöküş saniye gibi kısa bir sürede olur. Bu modele göre bütün atomlar kararsızdır. Bu ise açıkça bir çelişkidir, çünkü çevremizde atomlardan yapılmış herşey kararlı bir yapıdadır.

            Yukarıda değinilen ikinci güçlük ise şu idi: ivmeli hareket eden elektronların yayacağı ışınım frekansı dolanım frekansıdır. Elektronun çöküşü esnasında yarıçaplı bir spiral üzerinde sürekli azaldığından dolanım frekansı, dolayısı ile yapacağı ışınımın frekansı da sürekli şekilde değişmeli idi. Halbuki akkor haldeki gazların (gazı oluşturan atomun yapısına bağlı olarak) belirli renklerde kesikli spektruma sahip ışıma yaptıkları 18. Yüzyıldan beri bilinmekte idi. Örneğin hidrojen atomunun görünür bölgede ışıdığı renklerin dalgaboylarının ampirik olarak,

 

(1.33)

şeklinde bir bağıntı ile ifade edilebileceği 1885’te J.J. Balmer tarafından bulunmuştu. Burada olmak üzere ve birer tamsayı ve deneysel olarak şeklinde bulunmuş bir sabittir. ’ye Rydberg sabiti, ve için bulunan diziye de Balmer serisi denir. Daha sonraları (1.33) bağıntısının hidrojenintüm spektrumunu da açıkladığı anlaşıldı. olmak üzere serileri sırası ile Lyman, Paschen, Brackett ve Pfund serileri olarak adlandırıldı.

1. Bir atomdaki elektronun açısal momentumu

(1.34)

şeklinde kuantumludur. Böyle bir elektron bulunduğu yörüngede ışıma yapmadan dolanır. (1.34) bağıntısına Bohr kuantumlama koşulu denir.

    ii. Bir elektron izinli yörüngeler arasında ani geçişler yapabilir ve bu yörüngelerin

(1.35)

frekanslı bir ışıma olarak ortaya çıkar. Atomlar, elektronlarını daha yüksek enerjili yörüngelere çıkaracak şekilde enerji soğururken de yine (1.35) bağıntısına uyarlar.

            Bohr varsayımlarının sonuçlarını görmek için bunları hidrojene benzeyen tek elektronlu bir atoma uygulayalım ve basit olması için elektronun yarıçaplı çembersel bir yörüngede bulunduğunu varsayalım. Kütlesi çok büyük olduğundan çemberin merkezinde durgun kabul edilen çekirdeğin yükü ile elektronun yükü arasındaki Coulomb kuvveti, elektrona merkezcil ivmeli düzgün çembersel hareket yaptırır. Burada Newton’un ikinci hareket yasasından yararlanarak (Gauss birim sisteminde)

(1.36)

yazılabilir. Çembersel yörünge için açısal momentum şeklindedir. Bohr kuantumlama koşulunu kullanarak ve buradan bulunan ifadesini (1.36) da yerine koyarsak yörünge yarıçaplarının

	(1.37)

şeklinde kuantumlanmış olduğunu görürüz. Burada

Å

(1.38)

uzunluğuna hidrojenin bohr yarıçapı denir. (1.37) ifadesini bağıntısında kullandığımızda, ’nin de

	(1.39)

şeklinde kuantumlanmış olduğunu görürüz. Burada

(1.40)

sabitine ince yapı sabiti adı verilir. Artık (1.37) ve (1.39) bağıntılarından yararlanarak elektronun

(1.41)

toplam enerjisinin

	(1.42)

şeklinde kuantumlanmış olduğunu göstermek zor değildir. (1.42)’de son eşitliği yazarken elektronun durgun enerjisi için değerini kullandık.

            (1.42) bağıntısı ile ifade edilen enerjilere hidrojenin enerji düzeyleri denir. En düşük enerji düzeyi, için bulunan enerjili düzey olup buna hidrojenin taban durumu enerjisi denir. Taban durumunda yörünge yarıçapı en küçük ve Å değerine eşittir. Taban durumundaki dolanım sürati ışık hızının katıdır. En yüksek düzeyde olup bu limitine karşı gelmektedir. Bu durumda yörünge yarıçapı da ’e gidrceğinden artık elektron ile çekirdek birbirinden tamamen ayrılmışlardır. Elektronu taban durumundan durumuna geçirmek için gerekli minimum enerji olup buna hidrojenin iyonlaşma enerjisi denir. ’dan sonra elektron her enerji değerini sürekli alabildiği serbest durumdadır.

            Hidrojenin ışıma spektrumunun kesikliliği artık kolayca ifade edilebilecektir. Atom uyarılmış bir düzeyden daha düşük bir enerji durumuna geçerken aradaki enerji farkına eşit enerjili bir foton yayar. Buna göre olmak üzere geçişinde yayınlanan fotonun dalgaboyu

	(1.43)

şeklinde ifade edilebilir. Böylece atomunun bütün serileri elde edilirken, deneysel olarak ölçülen Rydberg sabitinin de

	(1.44)

            Atomların kararlılığı için ise şu açıklama getirilmiştir. En düşük izinli enerji düzeyi taban durumudur. Taban durumunda bulunan kararlı olarak kalır. Diğer uyarılmış durumlar kararsız olup bu durumların birinde bulunan atom foton salarak kararlı kaldığı taban durumuna geçiş yapar.

            Hidrojen atomunda çembersel yörüngelerde dolanan elektron için kolayca uygulanabilen Bohr kuantumlamakoşulu, eliptik yörüngelere ve diğer periyodik hareketlere de uygulanabilecek şekilde Sommerfeld ve Wilson tarafından genelleştirildi. Bunu ifade edebilmek için kanonik koordinatlarına sahip serbestlik dereceli bir sistemi gözönüne alalım. Her periyodik kanonik çifti için yazılan, faz uzayındaki integrali eylem (yani açısal momentumun)boyutunda bir nicelik olup burada integral nin faz uzayındaki bir tam devri üzerindedir. Buna göre Sommerfeld-Wilson kuantumlama koşulu şöyle yazılır:

(1.45)

            Bu yeni kuantumlama koşulu atomunun eliptik yörüngelerine uygulandığında bunların da kesikliliğini ve ayrıca dejenereliğini açıklayabilmesine karşın sadece periyodik hareketlere uygulanabilmektedir.

            Bohr modelinde elektronlar klasik noktasal parçacıklar olarak ele alınır. 1924’te de Broglie, atomunda çembersel yörüngenin çevresinin elektronun de Broglie dalga boyunun tamsayı katına eşit olması koşulunun Bohr kuantumlama koşuluna denk bir koşul olduğunu gösterdi. Gerçekten elektronun sürati ve yörünge yarıçapı ise koşulu, olmak üzere koşuluna eşittir(Bkz. Şek.1). Böylece elektronun çekirdeğin etrafındaki hareketinin salt klasik noktasal parçacık hareketi olmadığı, bu harekette dedalga karekteri olduğu anlaşıldı.

Şekil 1.6. Elektronun dolandığı yörüngenin çevresinin de Broglie dalga boyunun

tamsayı katı olması Bohr kuantumlanma koşuluna denktir.